张益唐与黎曼猜想

作者 赵奎奇为云南师范大学数学教授

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黎曼猜想，是 1859 年由波恩哈德·黎曼作为，他获选当年柏林科学院院士这一崇高荣誉，献给柏林科学院的回报论文“论小于给定数值的素数个数”

黎曼发现素数出现阿频率于一个特别构造的泽塔（zeta,黎曼）函数 

的性态紧密相关。复平面上使黎曼函数取值为i零的点称为黎曼ζ函数的零点。s = -2n (n 为正整数）是黎曼ζ函数的零点。这些零点分布有序，性质简单，被称为黎曼ζ函数的平凡零点 （trival zero).  另外， 黎曼ζ函数还有许多其他零点。它们的性质远比那些平凡零点来的复杂。被称为非平凡零点。 黎曼猜想断言，方程 

的所有这些有意义的解在一条直线上。现在借助计算机，对超前200 亿个非平凡零点验证正确，无一例外！

在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上的直线 

称为critical line (临界线），运用这一术语，黎曼猜想可以表达为：

黎曼 delta 函数所谓所有非平凡都位于critical line 上，也即，都位于直线 

上， Re（s）表示复数s 的实数部分。 

黎曼猜想从1859 年“诞生”以来，就是数学世界的一座巍峨的峻拔山峰，吸引了无数
数学家前去攀登，却谁也没能登顶。它不仅是1900 年的第二届ICM(国际数学家大会)时，德国数学家戴维·希尔伯特在大会上所提，20 世纪数学家应当努力去解决的23 个数学问题之一，也是美国克雷数学研究所于2000 年5 月24 日公布，悬赏索求的世界七大数学难题中的一个。

黎曼函数ζ（s）为级数表达式

在复平面上的解析延拓 （历史文献中的记号） 

按现代数学记号可写成 

积分路径C如图所示 

组成C的圆的半径和两条水平直线与  x  轴的距离均与0 很接近。如今数学文献中已有超过上千条的数学命题，以黎曼猜想（或其推广形式）成立为前提。

黎曼猜想与费马大定理，已经成为广义相对论和量子力学融合的M 理论几何拓扑载体。
黎曼猜想研究的最新进展是：2022 年10 月15 日上午，在北京大学大纽约地区的校友会第十期“未名传承系列活动”的演讲中，美籍华裔数学家、加州大学圣塔芭芭拉分校张益唐教授表示，本质上，他已经证明了朗道-西格尔零点猜想（黎曼猜想的某种弱形式，被定义为广义黎曼猜想的反例）。2022 年11 月4 日上午，张益唐对预印本平台arXiv 提交了一份长达111 页的论文“离散平均数估计和朗道-西格尔零点”，11 月7 日预印本网站arXiv上正式对外公开，由数学界同行进行评议，行验证的流程。待被学界可认，他部分证明了朗道-西格尔零点不存在。牛津大学数学研究所退休教授罗杰·希思-布朗（Roger Heath-Brown
FRS）曾就朗道-西格尔零定理(猜想)，向澎湃新闻表示“好好研读这篇论文需要很长时间，所以，我现在还不能说它是否正确。但它写得很清楚，而且策略明智。” 张益唐的数学家友Brian Conrey 曾说：“有两个宇宙，在第一个宇宙里，不存在朗道-西格尔零点，但在第二个宇宙里，有此零点。现在的问题是，我们并不知道我们生活在哪一个宇宙。”说的很有意思，朗-西零点在一个世界（未来的）存在；朗-西零点不存在，不否定黎曼猜想（在现在世界里）！

2022 年11 月14 日，与张益唐研究领域有所重叠的华裔数学家，菲尔茨奖获得者，美国加州大学洛杉矶分校讲席教授陶哲轩给出了他对张益唐预印本网站arXiv 上公开的新论文具有较为针对性评论，大意为:我看到并指出的一些（包含严重的）问题，可能得纠正，这一过程很可能需要一段时间才能解决，但是得强调，我不想向益唐施压，要求上传一份仓促编辑的修订稿，而是一份仔细校对的修订稿，耐心等待。

2023 年8 月23 日阿里巴巴数学全球竞赛专场讲座上，张益唐间接回答了陶哲轩之前评论，零点猜想论文第二稿最快于今年里见。

组委会问: 下一个问题来之知乎网友，您前面提到了零点猜想的工作， 我记得您论文发表之后引起很大反响，这些反响中有没有那些超出您预期的？以及关于零点猜想的工作有什么最新的进展吗？

张益唐：首先我想说那篇文章不是正式发表，只是上传到arXiv上，想让大家看一看。 

但是我没有想到的是，这个东西写出来技术问题是如此复杂，我现在还要去修改，这个结果会怎么样？我还是那句话，我确定是把它做出来了。我的结果是对的。 我的第二稿会比第一稿再改进一些。 

预计发表时间会在今天或者明年上半年。

张益唐，1955 年生于上海，祖籍浙江省平湖市，1978-1985 年就读北京大学数学系，1982 年获学士学位，1985 年硕士学位；用了近7 年时间于1992 年，获美国普渡大学博士学位。之后又近7 年期，人生漂泊不定，没有好日子过，时常只能借住在朋友家，有时甚至只能住在朋友家的地下室，他做过中餐外卖员，小店的会计，也到汽车旅馆打过零工。但他一直潜心于研究数学，默默耕耘，关注大问题的进展，挑战大难题。北大校友唐朴祁和葛力明和他北京大硕士生时期导师潘承彪教授是张的人生贵人，尤其，得到数学专业出身的葛力明大力推荐，1999 年先获聘为新罕布什尔大学数学系与统计学系编制外的助教，后担任讲师，执教微积分、代数、初等数论等课程。大学讲师是他回归学术圈的开始，于2001 年在《杜克数学期刊》上发表了一篇关于黎曼猜想的高水平论文“On The Zeros Of Near TheCritical Line”，2007 年5 月上传预印本网站arXiv，公布了一篇关于朗道-西格尔猜想论文（尽管后来被发现不正确）“On the Landau-Siege Zeros Conjecture”。终于2013 年 4 月，在《数学年刊》上发表“质数间的有界间隔”，证明了存在无穷多对质数间隙都小于 7000 万，对数学世界难题“孪生素数猜想”研究，取得历史性突破，完成从0 到1 的一步！孪生素数猜想也是前面提到的希尔伯特最著名的23 个数学问题之一。

凭借在孪生质数猜想上取得的重大突破，张益唐在2013 年里不仅荣获晨兴数学卓越成就奖（Morningside Special Achievement Award in Mathematics）和2014 年弗兰克·奈尔森·科尔（Frank Nelson Cole）数论奖、罗夫·肖克奖奖(Rolf Schock)数学奖，而且新罕布什尔大学给他破格晋升为数学系正教授，获终身教职。同年5 月13 日，获邀在美国哈佛大学发表演讲，介绍他的研究进展；2014 年8 月韩国首尔举办的国际数学家大会，受邀作一小时的报告（invited lecture）（国际数学家大会的受邀报告通常时间为45 分钟），同年9 月16 日，获得麦克阿瑟天才奖(MacArthur Fellowship)，……2016 年，应加州大学圣塔芭芭拉分校（UCSB）校长邀请，受聘为其大学数学终身教授至今。

从张益唐1999 年做大学数学讲师工作算起，近25 年时间里，他的精力主要集中在大问题黎曼猜想和朗道-西格尔零点猜想（有3 篇标志性论文）研究，其间2007 年5 月之后有3 年多时间，转向主要对孪生素数大问题研究，于2013 年 4 月发表公开论文“质数间的有界间隔”！最近，最值得期待的是，2022 年11 月7 日预印本网站arXiv 上正式对外公开的论文“离散平均数估计和朗道-西格尔零点”得到认可并正式发表。

笔者这里，真心希望数学界出现那么一天，能弄清楚现存的未解决的数学难题（猜想），存在几个悖论？现在的数学系统早已被认为，是由集合与一些公理和规则定义的，而且已被逻辑证明，其系统内至少存在一个悖论，也是一个命题，它是不能被证明是正确的，也找不到反例，予以否定（有比喻说，它似一种游戏，游戏是有约定规则的，一个数学的悖论就似一种游戏里的一个定式和局情况）。而且给出一个新的数学系统，使对它们中一些问题理解，能象认识“三等分角”的尺规作图等类似问题一样清楚。更希望，那之后，张益唐能被称为殿堂级数学家！是数学世界的造物者之一。本文是以适合一般非专业读者易于阅读完成。也是对网搜（超20 篇）众多的相关文章综合简述的结果，这里必需对所有涉及文章的作者致以衷心感谢！）